Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 4 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 4 \cdot 3$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $12$ de $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 10$

Etapa 1.5.2.3

Reordene $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 10$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 10 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $λ^{2} - 3 λ - 10$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 1.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(λ - 5) (λ + 2) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ + 2 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 1.7.4

Defina $λ + 2$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $λ + 2$ como igual a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$λ = - 2$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 5) (λ + 2) = 0$ verdadeiro.

$λ = 5, - 2$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 5$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - 5 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & - 3 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 & 0 \\ 4 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 3 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 4 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ 4 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 3 - 4 (- \frac{3}{4}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3}{4} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4} \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{3}{4} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{3}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Some $1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 2 + 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Some $2$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} \\ 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{4} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$